分形渗流分析研究

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第一章  分形渗流分析研究

分形渗流是指分形孔隙介质和分形裂缝介质中流体的流动，关于分形渗流的研究，近年来有了很大发展。

上世纪90年代，曾有人提出过一种分形渗流的数学模型，导出了分形油藏的压力扩散方程。但是他们的模型中，有的分形参数物理意义不太明确，使用不便，受到了质疑。

近10年国内外在研究分形多孔介质渗透率方面做了大量工作，这些文章的应用背景大多偏向于塑料成型的模拟，基本不涉及分形油藏。研究的参数重点是针对一定的单元体的渗透率。对孔隙度研究较少，大多是给出一些半经验性质的表达式。

针对分形油藏，对分形孔隙介质和分形裂缝介质给出了渗流速度、渗透率和孔隙度三个基本公式，建立起分形油藏中渗流的压力扩散方程，并求得了相应的解析解，绘制出典型的压力曲线。

着重对分形油藏的一些特性参数作进一步的分析研究，讨论了分形渗流与传统达西渗流的某种相关性，建立起分形双重介质（裂缝和孔隙）中渗流的数学模型，对致密性油藏渗流的分析研究提供一种分析计算方法。

第一节 分型油藏的数学描述

为区别起见，将描述裂缝和孔隙介质的参数分别用下标1和2表示。众所周知，将Navier-Stokes方程用于求解单位深度裂缝和圆截面毛管中流动，可求得体积流量Q与压力梯度 之间的关系式分别为：

                                                

                                               

其中 和 分别表示裂缝宽度和毛管直径， 是裂缝的单位深度， 是流体粘度， 是压力梯度。考虑流动路径迂曲的分形特性，有：

                                

对于径向流，上式中Ｌ应改为ｒ，于是式和可分别写成：

                                          

                                          

其中 称为分形曲线的迂曲分维，L是沿流动方向的外观长度， 是弯曲流线的有效长度。

考虑通过垂直于流动方向单位截面积 有大量的毛管，其最大直径和最小直径分别用 和 表示。管径尺寸分布具有分形特性。即毛管累积数 与管径 之间遵从以下标度关系：

                                          

其中 是参考长度， 称为管径分维。因而通过单位截面 毛管的累积数的微分 和毛管总数 分别为：

                                       

                                                

对于裂缝分形介质，首先需对通过截面 的裂缝进行量化。将裂缝沿流动方向的尺度称为裂缝长度，将垂直于流动方向的尺度称为裂缝深度（无论是铅垂或倾斜方向）。裂缝深度ｄ有大有小，设单位截面 上，同一宽度 ，不同深度的裂缝有ｎ条，将它们的深度相加，给出：

                                       

其中 为单位深度， 是 上宽度为 的诸裂缝深度之和折算为单位深度的条数，它是正数，但一般不是整数。类似地有：

                                         

                                       

                                                

其中 称为缝宽分维。这样量化的涵义是将裂缝介质化为二维分形体。 和 分别为通过单位截面 上的最大和最小缝宽。

由Q对 从 到 积分，可给出渗流速度V（或比流量q）从而可定义出分形渗透率 。裂缝或毛管截面积乘以 对 积分，可给出孔隙度。这样，可以得出分形油藏渗流的三个基本公式（以径向流为例）写成：

分形渗流速度：

                                                

分形渗透率：

                                             

分形孔隙度：

                                             

其中： ，j=1，2分别对应于裂缝和孔隙介质。 和 分别为渗透率常数和孔隙度常数。它们只与介质本身的结构特性有关。其中：

                           

                          

                                

                              

总流量：

                                      

式将为径向流的内边界条件提供依据。

于是建立起分形油藏的压力扩散方程：

                                 

其中，常数m对平行流、平面径向流和球心向心流分别为0、1和2。若考虑表皮S和储集常数 ，则无量纲的压力扩散方程和内边界条件可分别写成：

                                    

                     

铅直井的压力分析的典型曲线如图1所示。虽然分形渗流与经典达西渗流的理论基础不同，经典渗流是建立在达西定律的基础上，而分形渗流是基于介质的分形理论和流体力学的Navier-Stokes方程，但是其数学描述普遍存在明显的相关性。我们可以看到对 的极限情形，分形渗流的扩散方程、内边界条件以及其它各式在形式上都退化为经典渗流的情形。

图1、不同组合参数下的典型曲线图版

图1、不同分形系数下的典型曲线图版

第二节 分形参数的分析2.1 分形渗透率和分形孔隙度

分形渗透率K和分形孔隙度 各自由两个因子的乘积给出，分别为渗透率常数 乘以 和孔隙度常数 乘以 ，其中第一个因子只与介质的细观结构特性有关，第二个因子含 ，它反映分形介质的尺度效应和迂曲效应，是分形渗流的基本特性。它的力学解释是：在毛管（或裂缝）的数目 和大小 和 确定的条件下，管道越迂曲（即 越大），则孔隙空间体积 占介质整体空间 的比例越大，因而分形孔隙度越大；同时流体受到管壁的阻力也越大，因而分形渗透率越小。对于 即直管的特殊情形， ， ，式—简化为：